612 三次样条函数插值（第三种边界条件）与微分

一、 功能

给出 n 个节点X_i 及节点上函数值Y_i = f (X_i)，i=1,2,…,n， 关于第三种边界条件构造三次样条插值函数S (X)，对 m 个插值点X_j ( j=1,2,…,m)，作成组插值，并可计算插值点上的一、二阶导数；还可计算节点上的一、二阶导数；也可用求出 S (X) 在插值区间 [a，b] 上的积分，近似代替 f (X) 在[a，b]上的积分。

二、算法简介

设在 [a，b] 上取 n 个节点

a = X₁<X₂<…<X_n-1<X_n = b

给定这些节点上的函数值Y_i = f (X_i) (i=1,2,…,n)，要求构造一个三次样条插值函数S (X)，使得满足下列条件：

（1）S (X_i) = Y_i， i=1,2,…,n ；

（2）在每个小区间 [Xi, Xi+1]上是一个三次多项式；

（3）S (X )∈C2[a，b]。

第三种边界条件有几种给法，我们这里给的第三种边界条件，是指给定的函数f(X)是周期函数，因而三次样条函数S(X)亦为周期函数，其基本周期为Xn-X1，此时就是Y1=f(X1)=Yn=f(Xn),在插值区间的端点上满足：

S’(X1)=S’(Xn), S”(X1)=S”(Xn)

由此边界条件，可由递推法求出 n 个节点上S (X)的一阶导数mj (j=2,3,…,n-1)，计算公式为：

a1=-0, b1=0, c1=0

h1=hn-1, Y2-Y1=Yn-Yn-1

hi=Xi+1-Xi

αi=hi-1 / (hi-1+hi)

β_i=3[(1-α_i)(Y_i-Y_i-1)/ h_i-1+α_i(Y_i+1-Y_i)/ h_i] (i=1,2,…,n-1)

a_i=-α_i-1/[2+(1-α_i)α_i-1]

b_i=-(1-α_i) b_i-1/[2+(1-α_i-1)a_i-1]

c_i=[β_i-1-(1-α_i-1)c_i-1]/[2+(1-α_i-1)a_i-1] (i=2,3,…,n-1)

t_n=1, v_n=0

t_i=a_it_i+1+b_i

v_i=a_iv_i+1+c_I (i=n-1,n-2,…,2)

m_n-1=[β_n-1-α_n-1v₂-(1-α_n-1)v_n-1]/[2+α_n-1t₂+(1-α_n-1)t_n-1]

m_i=t_i+1m_n-1+ v_I+1 (i=1,2,…,n-2))

将计算出的m_i (i=1,2,…,n) 和节点及节点上的函数值，在小区间[X_i，X_i+1] 上构造三次样条插值函数S(x)及S’(x)与S”(x)：

S (X)=[3/ h²_i(X_i+1-X)²-2/h³_i(X_i+1-X)³]Y_i-[3/h²_i(X-X_i)²-2/h³_i(X-X_i)³]Y_i+1+h_i [1/h²_i(X_i+1-X)²-1/h³_i(X_i+1-X)³]m_i - h_i[3/h²_i(X-X_i)²-2/h³_i(X-X_i)³]m_i+1

S’(X)=6/h_i[1/h²_i(X_i+1-X)²-1/h_i(X_i+1-X)]Y_i-6/h_i[1/h²_i(X-X_i)²-1/h_i(X-X_i)]Y_i+1+ [3/h²_i(X_i+1-X)²-2/h_i(X_i+1-X)]m_i - [3/h²_i(X-X_i)²-2/h_i(X-X_i)]m_i+1

S”(X)=1/h²_i[6-12/h_i(X_i+1-X)]Y_i-1/h²_i[6-12/h_i(X-X_i)]Y_i+1+1/h_i[2-6/h_i(X_i+1-X)]m_i- 1/h_i[2-6/h_i(X-X_i)]m_i+1

在节点X_i与X_i+1上(I=1,2,…n-1),二阶导数

Y”_i=S”(X_i)=6/h²_i(Y_i+1-Y_i)-2/h_i(2m_i+m_i+1)

Y”_i=S”(X_i)=6/h²_i(Y_i -Y_i+1)-2/h_i(m_i+2m_i+1)

利用节点上的二阶导数，可得到改进的梯形求积公式，计算出S (X)在插值区间[a，b]上积分S,近似代替在上的积分：

S=∫^b_aS(X)dx=1/2_­­_­∑_­

由上述知，三次样条函数插值，是一种改进的分段插值，在分段处具有连续的二阶导数，且连续点保持光滑。但因为三次多项式计算简单，且满足一般实际问题的要求，故用的最多。由于样条函数明显的优点，目前被广泛应用。

三、程序使用说明

1、输入参数

n，m分别为节点个数与插值点个数

w 控制计算内容的变量，当w=1时，计算节点上的一，二阶导数； 当w=2时，除计算节点上的一，二阶导数外，还计算插值点上的函数值及一、二阶导数；当w<>1且w<>2时，如w=3，除计算w=2时的内容外，还计算S (X) 在插值区间[a，b]上的积分，近似代替f(X)在[a,b]上的积分。

X(N)，Y(N)是一维实数组，分别存放节点及节点上的函数值

C(M)是一维实数组，存放插值点的数值

X(N)，Y(N)，C(M)，分别存放在程序的70-150语句中

2、输出参数

n，m分别为节点个数及插值点个数

w 控制计算内容的变量[见1]

部分节点及节点上的函数值

部分插值点及插值点上函数值的一、二阶导数

部分节点及节点的一、二阶导数

S S (X)在插值区间[a，b]上的积分

请大家帮帮忙啊！！！