[算法]分治法棋盘覆盖
声明：本文使用的代码和例子的来源：《计算机算法设计与分析》（王晓东编著，电子工业出版社）。我对代码做了少许修改，使可以在tc的图形模式下看到题目的结果。题目：在一个(2^k)*(2^k)个方格组成的棋盘上，有一个特殊方格与其他方格不同，称为特殊方格，称这样的棋盘为一个特殊棋盘。现在要求对棋盘的其余部分用L型方块填满（注：L型方块由3个单元格组成。即围棋中比较忌讳的愚形三角，方向随意），切任何两个L型方块不能重叠覆盖。L型方块的形态如下：
■■ ■■ ■ ■
■ ， ■ ， ■■ ， ■■
题目的解法使用分治法，即子问题和整体问题具有相同的形式。我们对棋盘做一个分割，切割一次后的棋盘如图1所示，我们可以看到棋盘被切成4个一样大小的子棋盘，特殊方块必定位于四个子棋盘中的一个。假设如图1所示，特殊方格位于右上角，我们把一个L型方块（灰色填充）放到图中位置。这样对于每个子棋盘又各有一个“特殊方块”，我们对每个子棋盘继续这样分割，知道子棋盘的大小为1为止。
用到的L型方块需要（4^k-1)/3 个，算法的时间是O（4^k)，是渐进最优解法。
本题目的C语言的完整代码如下（TC2.0下调试），运行时，先输入k的大小，(1<=k<=6)，然后分别输入特殊方格所在的位置(x,y), 0<=x,y<=(2^k-1)。程序将绘制出覆盖后的棋盘，运行效果截图如图2所示。
程序代码：/*
* 用分治法，一个棋盘，提供一个特殊方格用黑色填充，其余用L型方块填满。
*/
#include <stdio.h>
#include <graphics.h>
/*#include <cpyscr.h>*/
#define N 64
#define BoardLeft 2
#define BoardTop 2
int Board[N][N]; /*棋盘*/
int tile;/*全局性质的L图形编号*/
int CellSize=10;/*网格大小*/
int BorderColor=LIGHTGRAY;
/*用指定颜色填充一个单元格！*/
void PutCell(int x,int y,int color)
{
setfillstyle(SOLID_FILL,color);
rectangle(BoardLeft+x*CellSize,BoardTop+y*CellSize,BoardLeft+(x+1)*CellSize,BoardTop+(y+1)*CellSize);
floodfill(BoardLeft+x*CellSize+CellSize/2,BoardTop+y*CellSize+CellSize/2,BorderColor);
}
/*绘制L方块，（cx,cy）是L方块的中心点CELL坐标，pos从1到4，表示位于特殊方块位于哪个角（即缺失的一角位置）*/
void PutBlock(int cx,int cy,int pos)
{
int x,y,t=CellSize;/*方块起始点像素坐标*/
x=BoardLeft+cx*CellSize;
y=BoardTop+cy*CellSize;
moveto(x,y);/*移动到中心点*/
switch(pos)
{
case 1:/*左上角缺*/
lineto(x,y-t);
lineto(x+t,y-t);
lineto(x+t,y+t);
lineto(x-t,y+t);
lineto(x-t,y);
break;
case 2:/*右上角缺*/
lineto(x+t,y);
lineto(x+t,y+t);
lineto(x-t,y+t);
lineto(x-t,y-t);
lineto(x,y-t);
break;
case 3:/*左下角缺*/
lineto(x-t,y);
lineto(x-t,y-t);
lineto(x+t,y-t);
lineto(x+t,y+t);
lineto(x,y+t);
break;
case 4:/*右下角缺*/
lineto(x,y+t);
lineto(x-t,y+t);
lineto(x-t,y-t);
lineto(x+t,y-t);
lineto(x+t,y);
break;
}
lineto(x,y);/*回到闭合点！*/
}
/*初始化图形模式*/
void InitGraph()
{
int gdriver=DETECT,gmode;
initgraph(&gdriver,&gmode,"");
setcolor(BorderColor);
}
/*关闭图形模式*/
void CloseGraph()
{
closegraph();
}
/*打印棋盘*/
void PrintBoard(int size)
{
int i,j;
clrscr();
for(j=0;j<size;j++)
{
for(i=0;i<size;i++)
{
printf("%2d ",Board[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n--------------------------------\n");
printf("size=%d;\n");
}
/*left,top：方块的左上角坐标，x,y：特殊方块的坐标 size:当前的子棋盘大小*/
void ChessBoard(int left,int top,int x,int y,int size)
{
int i,t,s,pos;/*t是方块的编号，s是棋盘的一半尺寸！(size/2),pos表示方块位于哪一角 */
if(size==1)
return;
t=tile++;/*当前L行方块的编号！递增*/
s=size/2;
/*------------处理左上角----------*/
if(x<left+s && y<top+s)
{
ChessBoard(left,top,x,y,s);/*设置位于左上角的标识*/
pos=1;
}
else
{
Board[left+s-1][top+s-1]=t; /*不在左上角*/
ChessBoard(left,top,left+s-1,top+s-1,s);
}
/*------------处理右上角----------*/
if(x>=left+s && y<top+s)
{
ChessBoard(left+s,top,x,y,s);
pos=2;
}
else
{
Board[left+s][top+s-1]=t;/*不在右上角*/
ChessBoard(left+s,top,left+s,top+s-1,s);
}
/*------------处理左下角----------*/
if(x<left+s && y>=top+s)
{
ChessBoard(left,top+s,x,y,s);
pos=3;
}
else
{
Board[left+s-1][top+s]=t;
ChessBoard(left,top+s,left+s-1,top+s-1,s);
}
/*------------处理右下角----------*/
if(x>=left+s && y>=top+s)
{
ChessBoard(left+s,top+s,x,y,s);
pos=4;
}
else
{
Board[left+s][top+s]=t;
ChessBoard(left+s,top+s,left+s,top+s,s);
}
/*画出当前的L方块*/
PutBlock(left+s,top+s,pos);
}
void main()
{
int size,k,x,y,i,j;
printf("please input k=? (k should not more than 6, boardsize=2^k ): \n");
scanf("%d",&k);
size=1<<k;
printf("please input position of the special cell. x=? (not more than %d): \n",size-1);
scanf("%d",&x);
printf("please input position of the special cell. y=? (not more than %d): \n",size-1);
scanf("%d",&y);
if(k<0 || k>6 || x<0 || x>(size-1) || y<0 || y>(size-1))
{
printf("Input invalid!\n");
return;
}
InitGraph();
tile=1;
Board[x][y]=0;
/*绘制特殊方块！*/
PutCell(x,y,RED);
ChessBoard(0,0,x,y,size);
/*CopyScreen("c:\\tc\\temp\\chess.bmp",0,0,400,400);*/
getch();
CloseGraph();
}[[it] 本帖最后由 hoodlum1980 于 2008-3-22 20:51 编辑 [/it]]
